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確率計算は面倒臭い

こちらのがくちん氏のAKB48に関する記事を見て、
計算がおかしいと感じて自分でいくつか試算していたら気が付くと2時間以上過ぎていた件。
最初はコメント欄に書こうと思ったんですが、長い、クドい、計算式が見づらいの3つの理由で却下。
しかし2時間以上もペンを走らせた結果をただ捨てるのはもったいないのでうちで公開。
計算と検算は簡単なのは手書き、面倒だと関数電卓使ってます。

・X回目に44種類揃う場合のXの期待値
「(n=44〜∞)(n回目にぴったり揃う確率)*n」でいいんだろうか。
これだと何かおかしい気がする。というか、無限大まで試行を続けてどうする。
でも何となく有限値に収束しそうな気がする…数学3Cは習ってないのでよく分かりませんが。

・X枚のCDを買った場合にn種類揃っているというnの期待値
Σ(n=1〜k)(X回試行時にk種類持っている確率)*k(X≧n,nは44までの自然数)でいいかな。
このnが44にある程度近づいたときのXが大体買えばいい枚数。
漸近線みたいな感じで44には達しないはずだけど…ってこれじゃ意味ないのか?
とりあえず4回目まで試算してみた。確率を出す過程は省略。数学の得意な高校生なら十分分かるし。
2枚購入…1.9772...種類
3枚購入…2.932...種類
4枚購入…3.8656...種類

5枚以上の試算は…ちょっと…しんどいです…。それ用のアルゴリズム組まないと無理じゃないかな。
枚数が増えていくとダブりが増える確率も上がるからでしょうが、少しずつ期待値と購入枚数に差が出来てますね。
ふー、数年ぶりにガチで数学の問題考えました。いやー、楽しかった。
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